операторные пространства
Jan. 8th, 2004 11:40 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
ded_maximЭто дневник, или что? Посему будем записывать научное. (А также, для воспитания некоторых пользователей, которые повадились писать посты на тему программирования.)
Операторные пространства есть замкнутые по норме подпространства C*-алгебр. Вообще, любое банахово пространство $X$ есть операторное пространство: достаточно взять единичный шар в двойственном пространстве $X^*$ и наделить его слабой* топологией. Полученное топологическое пространство $T$ компактно (по теореме Банаха-Алаоглу), а $X$ допускает изометрическое вложение в C*-алгебру $C(T)$ непрерывных комплекснозначных функций с областью определения $T$.
Таким образом, операторные пространства есть банаховы пространства с дополнительной информацией в виде вложения их в замкнутые подпространства алгебры $B(H)$ ограниченных линейных операторов над каким-либо гильбертовым пространством $H$. Категория операторных пространств задаётся так: объектами являются банаховы пространства, а морфизмами -- т.наз. вполне ограниченные линейные преобразования. Они определяются следующим образом.
Пусть $Е$ и $F$ операторные пространства, являющиеся замкнутыми подпространствами соответственно алгебр $B(H)$ и $B(K)$. Для каждого натурального $n$, определим $M_n(B(H))$ как пространство матриц $n \times n$ с $B(H)$-значными элементами. Оно естественным образом становится C*-алгеброй, если идентифицировать его с пространством $B(H^n)$, где $H^n$ есть прямая сумма $n$ копий $H$. Таким же образом определим $M_n(B(K))$. Естественным образом определяются также подпространства $M_n(E)$ и $M_n(F)$. Теперь самое типа главное: любое линейное преобразование $u : E \to F$ индуцирует преобразование $u_n : M_n(E) \to M_n(F)$: берём матрицу из $M_n(E)$ и действуем преобразованием $u$ на каждый из её элементов. Получаем матрицу в $M_n(F)$. $u$ назовём вполне ограниченным если каждое $u_n$ ограничено. Такой выбор морфизмов обусловлен, например, тем, что вполне ограниченные преобразования "сохраняют" информацию о вложении соответсвующих операторных пространств в замкнутые подпространства C*-алгебр.
Важный класс вполне ограниченных преобразований составляют т.наз. вполне положительные преобразования. Преобразование $u : E \to F$ вполне положительно, если индуцированное преобразование $u_n : M_n(E) \to M_n(F)$ отображает положительные операторы в положительные операторы для каждого $n$. В физике, вполне положительные преобразования используются для описания необратимых эволюций квантовых динамических систем во времени (квантовые операции).
Сейчас вот пишу (с двумя соавторами) статью, где строится некоммутативное обобщение операционного расстояния, индуцируемого метрикой Хеллингера на пространстве борелевских стохастических ядер. Таким образом, получаем числовой критерий близости двух вполне положительных сжатий $\Phi,\Psi : B(H) \to B(K)$, который является квантово-операционным аналогом обобщённой переходной вероятности (по Ульману) для двух состояний над заданной C*-алгеброй. Будут приводиться примеры применения операционных метрик к гауссовским квантовым операциям на C*-алгебре, порождённой каноническими коммутационными соотношениями Вейля.
Операторные пространства есть замкнутые по норме подпространства C*-алгебр. Вообще, любое банахово пространство $X$ есть операторное пространство: достаточно взять единичный шар в двойственном пространстве $X^*$ и наделить его слабой* топологией. Полученное топологическое пространство $T$ компактно (по теореме Банаха-Алаоглу), а $X$ допускает изометрическое вложение в C*-алгебру $C(T)$ непрерывных комплекснозначных функций с областью определения $T$.
Таким образом, операторные пространства есть банаховы пространства с дополнительной информацией в виде вложения их в замкнутые подпространства алгебры $B(H)$ ограниченных линейных операторов над каким-либо гильбертовым пространством $H$. Категория операторных пространств задаётся так: объектами являются банаховы пространства, а морфизмами -- т.наз. вполне ограниченные линейные преобразования. Они определяются следующим образом.
Пусть $Е$ и $F$ операторные пространства, являющиеся замкнутыми подпространствами соответственно алгебр $B(H)$ и $B(K)$. Для каждого натурального $n$, определим $M_n(B(H))$ как пространство матриц $n \times n$ с $B(H)$-значными элементами. Оно естественным образом становится C*-алгеброй, если идентифицировать его с пространством $B(H^n)$, где $H^n$ есть прямая сумма $n$ копий $H$. Таким же образом определим $M_n(B(K))$. Естественным образом определяются также подпространства $M_n(E)$ и $M_n(F)$. Теперь самое типа главное: любое линейное преобразование $u : E \to F$ индуцирует преобразование $u_n : M_n(E) \to M_n(F)$: берём матрицу из $M_n(E)$ и действуем преобразованием $u$ на каждый из её элементов. Получаем матрицу в $M_n(F)$. $u$ назовём вполне ограниченным если каждое $u_n$ ограничено. Такой выбор морфизмов обусловлен, например, тем, что вполне ограниченные преобразования "сохраняют" информацию о вложении соответсвующих операторных пространств в замкнутые подпространства C*-алгебр.
Важный класс вполне ограниченных преобразований составляют т.наз. вполне положительные преобразования. Преобразование $u : E \to F$ вполне положительно, если индуцированное преобразование $u_n : M_n(E) \to M_n(F)$ отображает положительные операторы в положительные операторы для каждого $n$. В физике, вполне положительные преобразования используются для описания необратимых эволюций квантовых динамических систем во времени (квантовые операции).
Сейчас вот пишу (с двумя соавторами) статью, где строится некоммутативное обобщение операционного расстояния, индуцируемого метрикой Хеллингера на пространстве борелевских стохастических ядер. Таким образом, получаем числовой критерий близости двух вполне положительных сжатий $\Phi,\Psi : B(H) \to B(K)$, который является квантово-операционным аналогом обобщённой переходной вероятности (по Ульману) для двух состояний над заданной C*-алгеброй. Будут приводиться примеры применения операционных метрик к гауссовским квантовым операциям на C*-алгебре, порождённой каноническими коммутационными соотношениями Вейля.
no subject
Date: 2004-01-16 05:46 pm (UTC)Может, вам как Фейнман писать -
"Я придумал схему, которой пользуюсь и по сей день, когда кто-то объясняет мне что-то, а я пытаюсь это понять: я придумываю примеры.
...
Затем, по мере роста количества условий, мои мячики приобретают цвет, у них отрастают волосы или что-нибудь еще. Наконец, математики выдают какую-то дурацкую теорему о мяче, которая совсем не подходит к моему волосатому зеленому мячику."
;-)