Владимир Вовк, теория вероятностей и игры

[ded_maxim]

Круто! Владимир Вовк (ученик Колмогорова, между прочим) выводит предельные теоремы теории вероятностей из теории игр! Это освобождает от необходимости предполагать, что случайные переменные независимы и одинаково распределены, и вообще не требует явного построения вероятностной модели. Он написал об этом книгу вместе с Гленном Шефером, которого специалисты по искусственному интеллекту и машинному обучению должны знать по теории Демпстера-Шефера.

Как говорил Бруно де Финетти, "никаких вероятностей не существует".

Comments

[juan-gandhi.livejournal.com]

А, это в духе того, чем Рувим Гуревич занимался? Как типа выглядят аксиомы отделимости, если аксиому выбора формулировать в терминах теории игр.

[ded-maxim.livejournal.com]

Я не знаю, честно говоря. Амазон уже выслал мне книгу, вот получу -- разберусь.

[mancunian.livejournal.com]

Для зависимых одинаково распределенных величин как-то не верится, что теория игр может дать больше, чем эргодическая теория. Есть разнообразные эргодические теоремы (обобщающие УЗБЧ), теория К-систем (обобщающая закон 0-1), да и ЦПТ в ЭТ сейчас исключительно модная тема.

Что до разнораспределенных величин, то, во-первых, непонятно, зачем они нужны :) - а, во-вторых, есть классические результаты Serfling (SLLN) и Добрушина (CLT), дающие достаточные условия выполнимости.

Так что как-то скептически я настроен.

[ded-maxim.livejournal.com]

Вы затронули несколько интересных и важных тем. Постараюсь ответить получше.

1. Конечно же, теория игр не сможет дать больше, чем ЭТ. Речь идет о том, чтобы получить качественно те же самые результаты, но с совершенно иной точки зрения. Вероятностная модель хороша тогда, когда она адекватно отражает реальность. Далеко не ясно, можно ли делать предположения вроде i.i.d. для систем с памятью и активными агентами (например, биржа, которую изучает Вовк, или, скажем, криптографические протоколы, которые интересуют меня), поэтому возникает необходимость получения тех же самых результатов, что и в обычной статистике, но без построения явной вероятностной модели.

2. Помимо асимптотических гарантий ЭТ, есть еще и более тонкие оценки, скажем, скорости сходимости в теории больших уклонений, не требующие независимости и равнораспределенности -- теорема Гертнера-Эллиса, например. Но в таких случаях обычно требуется достаточно хорошее поведение всяких производящих функций (дифференцируемость и т.д.), что тоже далеко не всегда удается установить на практике. Есть еще ЦПТ Донскера для эмпирических процессов (а это вообще круто -- там множество параметров случайного процесса это функциональное пространство, и нужно работать с внешними мерами, потому как супремум измеримых функций не обязательно будет измеримым), но подобные результаты требуют достаточно тонких оценок роста эпсилон-энтропии по Колмогорову. Теоретико-игровой метод вряд ли даст возможность получить что-нибудь в таком роде, но зато и дополнительных предположений там требуется гораздо меньше.

3. Разнораспределенность имеет смысл в той же криптографии (когда противник может менять стратегию в зависимости от текущего результата) или, скажем, в сотовой связи, когда характеристики канала могут меняться в зависимости от месторасположения абонента. Кстати, математическое моделирование сотовой связи это вообще крутая штука, там совершенно естественно возникают гильбертовы пространства, представления групп и т.д.